Série 3¶

Exercice 1¶

Exercice 1a)¶

Exercice

(Application de la formule de Bayes) Pour $i = 1, 2,$ on considère une urne $U_{i}$ qui contient $b_{i}$ boules blanches et $n_{i}$ boules noires. On choisit au hasard de manière équiprobable une des deux urnes. Dans l’urne choisie, on tire au hasard de manière équiprobable une boule. Sachant que la boule tirée est noire, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne numéro $i$ ?

Soit $N$ l’événement qu’une boule noire soit tirée, et soit $k$ l’urne choisie. On sait alors que

P (N | k = i) = \frac{n_{i}}{n_{i} + b_{i}}

Et que $P (k = 1) = P (k = 2) = 0.5$ .

Par la formule de Bayes on a

\begin{aligned} \begin{aligned} P (k = i | N) & = \frac{P (N | k = i) P (k = i)}{P (N)} \\ = \frac{P (N | k = i) P (k = i)}{P (N | k = 1) P (k = 1) + P (N | k = 2) P (k = 2)} \\ = \frac{\frac{n_{i}}{n_{i} + b_{i}} \frac{1}{2}}{\frac{n_{1}}{n_{1} + b_{1}} \frac{1}{2} + \frac{n_{2}}{n_{2} + b_{2}} \frac{1}{2}} \\ = \frac{\frac{n_{i}}{n_{i} + b_{i}}}{\frac{n_{1}}{n_{1} + b_{1}} + \frac{n_{2}}{n_{2} + b_{2}}} \end{aligned} \end{aligned}

Exercice 2¶

Exercice 2a)¶

Exercice

Soit $(Ω, P)$ un espace de probabilités dénombrable. Soient $A, B \subset Ω$ . Supposons que $A$ et $B$ sont indépendants. Prouver qu’alors $A$ et $Ω ∖ B$ sont indépendants. Prouver que $Ω ∖ A$ et $Ω ∖ B$ sont indépendants.

Rappelons que l’indépendance signifie que $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . On voit que $A \cap (Ω ∖ B) = A ∖ (A \cap B)$ . Alors,

\begin{aligned} \begin{aligned} P (A \cap (Ω ∖ B)) & = P (A ∖ (A \cap B)) \\ = P (A) - P (A \cap B) \\ = P (A) (1 - P (B)) \\ = P (A) P (Ω ∖ B) \end{aligned} \end{aligned}

Donc $A$ et $Ω ∖ B$ sont indépendants. De la même manière on peut conclure que $Ω ∖ B$ et $Ω ∖ A$ sont indépendants.

Exercice 2b)¶

Exercice

Un sondage a montré qu’une personne, prise au hasard, a une probabilité de $1 / 8$ de posséder un ordinateur personnel et une probabilité de $1 / 25$ d’être chauve. Si ces deux éventualités sont indépendantes, combien environ doit-on s’attendre à trouver de chauves possesseurs d’un ordinateur personnel dans un échantillon de $800$ personnes prises au hasard ?

Dénotons par $Ω$ l’ensemble de toutes les personnes, par $O \subset Ω$ ceux qui possèdent ordinateur, et par $C \subset Ω$ les chauves. Comme $O$ et $C$ sont indépendants, on a que

P (O \cap C) = P (O) P (C) = \frac{1}{8} \frac{1}{25} = \frac{1}{200}

Alors,

| O \cap C | = P (O \cap C) | Ω | = \frac{800}{200} = 4

Exercice 2c)¶

Exercice

On jette deux fois un dé équilibré. Prouver que la probabilité d’obtenir un total de 7 points ne dépend pas de la valeur obtenue au premier jeté.

Soit $Ω = {1; \dots; 6}^{2}$ , muni de la probabilité uniforme et de la tribu maximale. On définit l’événement $S_{k}$ par

S_{k} = {(x_{1}, x_{2}) \in Ω ∣ x_{1} + x_{2} = S_{k}}

Soit $X_{1}$ la valeur obtenue au premier jeté. On doit alors montrer que

P (S_{7} | X_{1} = k) = P (S_{7})

Comme

S_{7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)},

on a $P (S_{7}) = 6 / 36 = 1 / 6$ . On a de plus que

S_{7} \cap (X_{1} = k) = {k, 7 - k},

et donc $P (S_{7} \cap (X_{1} = k)) = 1 / 36$ . Enfin,

P (S_{7} | X_{1} = k) = \frac{P (S_{7} \cap (X_{1} = k))}{P (X_{1} = k)} = \frac{1 / 36}{1 / 6} = \frac{1}{6} = P (S_{7})

Donc les événements $S_{7}$ et $(X_{1} = k)$ sont indépendents.

Exercice 3¶

Exercice 3a)¶

Exercice

Une assemblée de 9 personnes doit élire 3 personnes parmi les personnes de l’assemblée : un président, un trésorier, un secrétaire. Combien existe-t-il de possibilités ?

On a affaire à des choix ordonnées (parce que on choisit 3 personnes, et un rôle pour chacun de ces personnes). sans répétitions de 3 objets parmi 9, la réponse est alors

\frac{9!}{6!} = 504

Exercice 3b)¶

Exercice

Une urne contient 6 boules numérotées. Combien de tirages ordonnées de deux boules existe-t-il ?

C’est un choix ordonnées sans répetitions de 2 objets parmi 6, la réponse est alors

\frac{6!}{4!} = 30

Exercice 3c)¶

Exercice

Une personne veut emprunter 3 livres pour ses vacances dans une bibliothèque qui contient 1000 livres. Combien cette personnes a-t-elle de choix possibles ?

C’est un choix non-ordonnées de 3 livres parmi 1000, la réponse est alors

(\binom{1000}{3}) = \frac{1000!}{997! 3!} = \frac{1000 \cdot 999 \cdot 998}{6} = 166 167 000

Exercice 4¶

Exercice 4a)¶

Exercice

Soit $k, n \in N$ . Soit $Ω = {1; 2; \dots; n}^{k}$ . Soit $F = P (Ω)$ . Soit P la probabilité uniforme sur $Ω$ (c’est-à-dire que $P$ prend la même valeur sur tout singleton). Soit

A = {(x_{1}; \dots; x_{k}) \in Ω ∣ \forall 1 \leq i < j \leq k, x_{i} \neq x_{j}} .

Prouver que

P (A) = \frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{(n - k)!}

La condition $x_{i} \neq x_{j}$ signifie que $(x_{1}; \dots; x_{k})$ définit un injection de $(1; \dots; k)$ à $(1; \dots; n)$ . Comme il y a $n! / (n - k)!$ telles injections, on a que

P (A) = \frac{1}{| Ω |} | A | = \frac{1}{n^{k}} \frac{n!}{(n - k)!}

Exercice 4b)¶

Exercice

On suppose pour simplifier qu’une année contient 365 jours et que la probabilité de naître un certain jour ne dépend pas du jour de l’année. Quelle est la probabilité que 2 personnes au moins parmi $k$ soient nées le même jour ?

Soit $Ω = {1; \dots; 365}^{k}$ l’ensemble de tous les anniversaires possibles parmi $k$ personnes. Dans ce situation on peut interpréter l’ensemble $A \subset Ω$ comme l’événement que tous les anniversaires sont différentes. L’événement que au moins 2 personnens soient nées le même jour est donc $Ω ∖ A$ . Sa probabilité est:

P (Ω ∖ A) = 1 - P (A) = 1 - \frac{1}{365^{k}} \frac{365!}{(365 - k)!}

Exercice 4c)¶

Exercice

A partir de quel nombre de personnes cette probabilité est-elle plus grande que $0.5$ ?

On peut calculer cette nombre numériquement. Comme les nombres $365^{k}$ , $365!$ et $(365 - k)!$ peuvent être très grands, nous devons simplifier un peu l’expression. Notons que

\frac{1}{365^{k}} \frac{365!}{(365 - k)!} = \frac{365}{364} \cdot \frac{364}{365} \cdot \dots \cdot \frac{365 - k + 1}{365}

qui est une expression beaucoup plus stable numériquement.

[1]:

                          import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def probability(k):
    return 1 - np.prod((365-np.arange(k))/365)

probabilities = np.array([probability(k) for k in range(60)])

# La k minimale est donnée par la nombre des k entre 0 et 365 ou
# la probabilité est moins de 0.5
min_k = np.sum(probabilities<0.5)
print(f'k minimale: {min_k}')

plt.axhline(y=0.5,c='k')
plt.title("""Probabilité que au moins 2 parmi $k$ personnes soient
    nées le même jour.""")
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel('probabilité')
plt.plot(probabilities,'.');
  
                        

k minimale: 23

On peut confirmer ce résultat avec une simulation. On prends beaucoup de fois un tuple de $k$ entiers entre $1$ et $365$ , et puis on calcule la fraction des tuples où au moins deux entrées sont les mêmes. Si on prend $k = 22$ on trouve une fraction plus petite que $0.5$ , et si on prend $k = 23$ on trouve une fraction plus grande que $0.5$ .

[2]:

                          import numpy as np

N = 100000
for k in [22,23]:
    tuples = np.random.randint(1,366,size=(N,k))
    num_common_birthday = 0
    for tup in tuples:
        if len(set(tup)) != k:
            num_common_birthday += 1
    fraction = num_common_birthday/N
    print(f'Fraction où au moins 2 parmi {k} soient nées le même jour :')
    print(f'{num_common_birthday}/{N}={fraction}\n')
  
                        

Fraction où au moins 2 parmi 22 soient nées le même jour :
47613/100000=0.47613

Fraction où au moins 2 parmi 23 soient nées le même jour :
50936/100000=0.50936

Exercice 5¶

Exercice 5a)¶

Exercice

Combien de mots de longueur $n$ sur l’alphabet ${0; 1}$ contiennentils $k$ zéros ? Faire la liste de ces mots dans le cas où $n = 5$ et $k = 2$ .

Soit $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in {0; 1}^{n}$ un mot de longueur $n$ avec $k$ zéros. Les positions des zéros définissent une sous-ensemble de ${1, \dots, n}$ de cardinalité $k$ . Notons que ce sous-ensemble définit $x$ de manière unique, car les autres entrées doivent êtres $1$ . On conclut que les mots de longueur $n$ sur l’alphabet ${0; 1}$ contentant $k$ zéros sont énuméré par les sous-ensembles de ${1; \dots; n}$ de taille $k$ . La cardinalité de cet ensemble est égal à $(\binom{n}{k})$ .

Dans cas $n = 5$ et $k = 2$ nous trouvons $(\binom{n}{k}) = 5! / (3! 2!) = 10$ mots. On peut générer la liste en utilisant du code. La methode la plus facile est de énumerer tous les mots de longueur $n$ et seulement prendres les mots avec $k$ zéros.

[3]:

                          n = 5
k = 2

for i in range(2**n):
    # Énumerer les mots en utilisant la forme binaire des entiers
    word = bin(i)[2:]
    word = '0'*(n-len(word))+word

    # Compter la nombre des zéros
    num_zeros = 0
    for c in word:
        if c == '0':
            num_zeros += 1
    if num_zeros == k:
        print(word)
  
                        

Méthode plus efficace :

[4]:

                          from itertools import combinations

n = 5
k = 2

for tup in combinations(range(n),k):
    # Remplacer les 1 par un zéro dans certains positions
    word = ['1']*n
    for i in tup:
        word[i] = '0'
    print(''.join(word))
  
                        

Exercice 5b)¶

Exercice

Combien de distributions de cartes existe-t-il pour un jeu de jass ? (Le jeu de jass contient 36 cartes, il y a 4 joueurs, chacun reçoit 9 cartes).

Une distribution est un partage de l’ensemble ${1, \dots, 36}$ en 4 sous-ensembles de taille 9. Alors la nombre de ces distributions est donnée par le coefficient multinomial

(\binom{36}{9, 9, 9, 9}) = \frac{36!}{9! 9! 9! 9!} ≃ 2.145 \times 10^{19}

Comme un coefficient multinomial est souvant un produit des facteurs très grand ou très petit, c’est numériquement plus stable de calculer son logarithme. On a

\log (\binom{n}{n_{1}, \dots, n_{k}}) = \log (n!) - \log (n_{1}!) - \dots - \log (n_{k}!)

Rappelons que la fonction

Γ (t) = \int_{0}^{\infty} x^{t - 1} e^{- x} d x

satisfait $Γ (n + 1) = n!$ si $n \in N$ . On peut calculer la logarithme de $Γ$ avec scipy.scecial.loggamma.

[5]:

                          import numpy as np
from scipy.special import loggamma

def log_multinom(n,*ni):
    return loggamma(n+1) - np.sum([loggamma(nk+1) for nk in ni])

np.exp(log_multinom(36,9,9,9,9))

[5]:

2.1452752266265354e+19

Exercice 5c)¶

Exercice

Soit $p, q \in N \cup {0}$ . Soit $n = p + q$ . Prouver que

(\binom{n}{p, q}) = (\binom{n}{p}) = (\binom{n}{q})

Comme $n = p + q$ on a $q = n - p$ et $p = n - q$ . Alors,

(\binom{n}{p, q}) = \frac{n!}{p! q!} = \frac{n!}{p! (n - p)!} = \frac{n!}{(n - q)! q!},

qui sont les définitions de $(\binom{n}{p})$ et $(\binom{n}{q})$ .

Exercice 5d)¶

Exercice

Calculer le coefficient du monôme $x^{6} y z^{3}$ dans le développement de $(x + y + z)^{10}$ .

Par la formule du multinôme de Newton on a

(x + y + z)^{10} = \sum_{i + j + k = 10} (\binom{10}{i, j, k}) x^{i} y^{j} z^{k}

Donc le coefficient du monôme $x^{6} y z^{3}$ est donné par

(\binom{10}{6, 1, 3}) = \frac{10!}{6! 1! 3!} = 840