Série 3¶
Exercice 1¶
Exercice 1a)¶
Exercice
(Application de la formule de Bayes) Pour on considère une urne qui contient boules blanches et boules noires. On choisit au hasard de manière équiprobable une des deux urnes. Dans l’urne choisie, on tire au hasard de manière équiprobable une boule. Sachant que la boule tirée est noire, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne numéro ?
Soit l’événement qu’une boule noire soit tirée, et soit l’urne choisie. On sait alors que
Et que .
Par la formule de Bayes on a
Exercice 2¶
Exercice 2a)¶
Exercice
Soit un espace de probabilités dénombrable. Soient . Supposons que et sont indépendants. Prouver qu’alors et sont indépendants. Prouver que et sont indépendants.
Rappelons que l’indépendance signifie que . On voit que . Alors,
Donc et sont indépendants. De la même manière on peut conclure que et sont indépendants.
Exercice 2b)¶
Exercice
Un sondage a montré qu’une personne, prise au hasard, a une probabilité de de posséder un ordinateur personnel et une probabilité de d’être chauve. Si ces deux éventualités sont indépendantes, combien environ doit-on s’attendre à trouver de chauves possesseurs d’un ordinateur personnel dans un échantillon de personnes prises au hasard ?
Dénotons par l’ensemble de toutes les personnes, par ceux qui possèdent ordinateur, et par les chauves. Comme et sont indépendants, on a que
Alors,
Exercice 2c)¶
Exercice
On jette deux fois un dé équilibré. Prouver que la probabilité d’obtenir un total de 7 points ne dépend pas de la valeur obtenue au premier jeté.
Soit , muni de la probabilité uniforme et de la tribu maximale. On définit l’événement par
Soit la valeur obtenue au premier jeté. On doit alors montrer que
Comme
on a . On a de plus que
et donc . Enfin,
Donc les événements et sont indépendents.
Exercice 3¶
Exercice 3a)¶
Exercice
Une assemblée de 9 personnes doit élire 3 personnes parmi les personnes de l’assemblée : un président, un trésorier, un secrétaire. Combien existe-t-il de possibilités ?
On a affaire à des choix ordonnées (parce que on choisit 3 personnes, et un rôle pour chacun de ces personnes). sans répétitions de 3 objets parmi 9, la réponse est alors
Exercice 3b)¶
Exercice
Une urne contient 6 boules numérotées. Combien de tirages ordonnées de deux boules existe-t-il ?
C’est un choix ordonnées sans répetitions de 2 objets parmi 6, la réponse est alors
Exercice 3c)¶
Exercice
Une personne veut emprunter 3 livres pour ses vacances dans une bibliothèque qui contient 1000 livres. Combien cette personnes a-t-elle de choix possibles ?
C’est un choix non-ordonnées de 3 livres parmi 1000, la réponse est alors
Exercice 4¶
Exercice 4a)¶
Exercice
Soit . Soit . Soit . Soit P la probabilité uniforme sur (c’est-à-dire que prend la même valeur sur tout singleton). Soit
Prouver que
La condition signifie que définit un injection de à . Comme il y a telles injections, on a que
Exercice 4b)¶
Exercice
On suppose pour simplifier qu’une année contient 365 jours et que la probabilité de naître un certain jour ne dépend pas du jour de l’année. Quelle est la probabilité que 2 personnes au moins parmi soient nées le même jour ?
Soit l’ensemble de tous les anniversaires possibles parmi personnes. Dans ce situation on peut interpréter l’ensemble comme l’événement que tous les anniversaires sont différentes. L’événement que au moins 2 personnens soient nées le même jour est donc . Sa probabilité est:
Exercice 4c)¶
Exercice
A partir de quel nombre de personnes cette probabilité est-elle plus grande que ?
On peut calculer cette nombre numériquement. Comme les nombres , et peuvent être très grands, nous devons simplifier un peu l’expression. Notons que
qui est une expression beaucoup plus stable numériquement.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def probability(k):
return 1 - np.prod((365-np.arange(k))/365)
probabilities = np.array([probability(k) for k in range(60)])
# La k minimale est donnée par la nombre des k entre 0 et 365 ou
# la probabilité est moins de 0.5
min_k = np.sum(probabilities<0.5)
print(f'k minimale: {min_k}')
plt.axhline(y=0.5,c='k')
plt.title("""Probabilité que au moins 2 parmi $k$ personnes soient
nées le même jour.""")
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel('probabilité')
plt.plot(probabilities,'.');
On peut confirmer ce résultat avec une simulation. On prends beaucoup de fois un tuple de entiers entre et , et puis on calcule la fraction des tuples où au moins deux entrées sont les mêmes. Si on prend on trouve une fraction plus petite que , et si on prend on trouve une fraction plus grande que .
import numpy as np
N = 100000
for k in [22,23]:
tuples = np.random.randint(1,366,size=(N,k))
num_common_birthday = 0
for tup in tuples:
if len(set(tup)) != k:
num_common_birthday += 1
fraction = num_common_birthday/N
print(f'Fraction où au moins 2 parmi {k} soient nées le même jour :')
print(f'{num_common_birthday}/{N}={fraction}\n')
Exercice 5¶
Exercice 5a)¶
Exercice
Combien de mots de longueur sur l’alphabet contiennentils zéros ? Faire la liste de ces mots dans le cas où et .
Soit un mot de longueur avec zéros. Les positions des zéros définissent une sous-ensemble de de cardinalité . Notons que ce sous-ensemble définit de manière unique, car les autres entrées doivent êtres . On conclut que les mots de longueur sur l’alphabet contentant zéros sont énuméré par les sous-ensembles de de taille . La cardinalité de cet ensemble est égal à .
Dans cas et nous trouvons mots. On peut générer la liste en utilisant du code. La methode la plus facile est de énumerer tous les mots de longueur et seulement prendres les mots avec zéros.
Méthode plus efficace :
Exercice 5b)¶
Exercice
Combien de distributions de cartes existe-t-il pour un jeu de jass ? (Le jeu de jass contient 36 cartes, il y a 4 joueurs, chacun reçoit 9 cartes).
Une distribution est un partage de l’ensemble en 4 sous-ensembles de taille 9. Alors la nombre de ces distributions est donnée par le coefficient multinomial
Comme un coefficient multinomial est souvant un produit des facteurs très grand ou très petit, c’est numériquement plus stable de calculer son logarithme. On a
Rappelons que la fonction
satisfait
si
. On peut calculer la logarithme de
avec scipy.scecial.loggamma.
Exercice 5c)¶
Exercice
Soit . Soit . Prouver que
Comme on a et . Alors,
qui sont les définitions de et .
Exercice 5d)¶
Exercice
Calculer le coefficient du monôme dans le développement de .
Par la formule du multinôme de Newton on a
Donc le coefficient du monôme est donné par